Calculadora de fatorial, arranjos e combinações

Qual usar?

Antes da fórmula, há duas perguntas. A primeira é se a ordem conta: num pódio conta, porque ficar em primeiro não é o mesmo que ficar em terceiro, mas numa comissão não conta, porque o grupo é o mesmo em qualquer ordem. A segunda é se o mesmo elemento pode aparecer mais do que uma vez, como os algarismos de um código.

As permutações são o caso dos arranjos simples em que entram todos os elementos. Se houver elementos iguais entre si, como as letras repetidas de uma palavra, usam-se as permutações com repetição.

Fórmulas

Todas saem do princípio da multiplicação: se uma escolha tem a opções e a seguinte tem b, as duas juntas têm a × b opções. Em todas, n é o número de elementos disponíveis e p o número de elementos escolhidos.

Fatorial

n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1

O fatorial de um número inteiro positivo é o produto de todos os inteiros de 1 até esse número. Por exemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definição, 0! = 1. O fatorial cresce muito depressa: 10! já passa dos 3 milhões e 70! passa de 10¹⁰⁰.

Permutações

P_n = n!

É o número de maneiras de pôr n elementos diferentes por ordem. O primeiro lugar tem n opções, o segundo tem n − 1 e assim por diante, até ao último, que tem 1. Cinco livros numa prateleira podem ficar de P₅ = 5! = 120 maneiras.

Arranjos simples

ⁿA_p = n! ÷ (n − p)!

A ordem conta e não há repetição. Na prática, multiplicam-se p fatores a descer a partir de n: ¹⁰A₃ = 10 × 9 × 8 = 720, o número de maneiras de escolher presidente, vice-presidente e tesoureiro entre 10 pessoas. O valor de p não pode passar de n.

Arranjos completos

ⁿA′_p = n^p

A ordem conta e o mesmo elemento pode repetir-se, por isso cada uma das p posições tem sempre n opções. Com as 26 letras do alfabeto há 26³ = 17 576 sequências de 3 letras. Aqui p pode ser maior do que n.

Combinações

ⁿC_p = n! ÷ (p! × (n − p)!)

A ordem não conta. Cada grupo de p elementos aparece p! vezes nos arranjos simples, uma por cada ordem, por isso ⁿC_p = ⁿA_p ÷ p!. Há 13 983 816 maneiras de escolher 6 números entre 49.

Permutações com repetição

n! ÷ (a! × b! × …)

Servem para ordenar n elementos quando há grupos de elementos iguais, com a + b + … = n. A palavra BATATA tem 6 letras: 1 B, 3 A e 2 T. Trocar dois A entre si não muda a palavra, por isso divide-se 6! pelas trocas que não contam: 720 ÷ (1! × 3! × 2!) = 720 ÷ 12 = 60 anagramas.

A notação desta página é a usada em Portugal no ensino secundário, nas fichas da Direção-Geral da Educação e nos exames nacionais de Matemática A. No Brasil diz-se «arranjo com repetição» em vez de arranjos completos, e escreve-se A(n, p) e C(n, p). As contas são as mesmas.

Exemplos resolvidos

O pódio de uma prova com 8 atletas

Há 3 lugares no pódio e a ordem conta. Não há repetição, porque o mesmo atleta não pode ficar em dois lugares. São arranjos simples de 8, 3 a 3: o primeiro lugar tem 8 opções, o segundo tem 7 e o terceiro tem 6.

⁸A₃ = 8 × 7 × 6 = 336

Um código de 4 algarismos

Cada posição pode ter qualquer algarismo de 0 a 9 e os algarismos podem repetir-se, como em 0070. A ordem conta, porque 1234 e 4321 são códigos diferentes. São arranjos completos de 10, 4 a 4.

¹⁰A′₄ = 10⁴ = 10 000

Se os 4 algarismos tivessem de ser todos diferentes, seriam arranjos simples: ¹⁰A₄ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.

Uma comissão de 3 pessoas entre 7

Na comissão, a ordem não conta: Ana, Rui e Inês formam a mesma comissão que Inês, Ana e Rui. São combinações de 7, 3 a 3.

⁷C₃ = (7 × 6 × 5) ÷ (3 × 2 × 1) = 35

Os arranjos simples dariam 7 × 6 × 5 = 210, mas cada comissão aparece aí 3! = 6 vezes, uma por cada ordem das 3 pessoas. Por isso, 210 ÷ 6 = 35.

Da contagem à percentagem

Quando todos os casos são igualmente prováveis, a probabilidade de um caso escolhido ao acaso é 1 a dividir pelo número de casos. Para passar a percentagem, multiplica-se por 100, como em qualquer cálculo de percentagem. Com combinações, a conta é:

probabilidade = 1 ÷ ⁿC_p

Uma mão de 5 cartas tirada de um baralho de 52 é uma combinação, porque a ordem em que as cartas chegam não muda a mão. Há ⁵²C₅ = 2 598 960 mãos diferentes, por isso uma mão em concreto tem 1 hipótese em 2 598 960, ou seja 100 ÷ 2 598 960 ≈ 0,0000385%. A sequência real (ás, rei, dama, valete e dez do mesmo naipe) pode sair em 4 naipes: 4 casos em 2 598 960, ou 1 em 649 740, cerca de 0,000154%.

Com 6 números escolhidos entre 49, há 13 983 816 combinações. Uma aposta simples acerta nos 6 com uma probabilidade de 1 em 13 983 816, cerca de 0,00000715%. Quando os casos favoráveis são vários, divide-se o número de casos favoráveis pelo total, a mesma conta de que percentagem é um valor de outro. Ligue o interruptor «Mostrar como probabilidade» na calculadora para ver estes valores em qualquer arranjo ou combinação.

Tabela de fatoriais de 0! a 12!

Cada linha é a anterior vezes n: 12! = 12 × 11! = 12 × 39 916 800. O 20! ainda tem 19 algarismos, mas o 25! já tem 26, e muitas calculadoras passam à notação científica e deixam de mostrar os últimos. Esta calculadora faz a conta com números inteiros exatos e mostra o resultado completo até 1000!, que tem 2 568 algarismos.

Perguntas frequentes

Porque é que 0! = 1?

Por duas razões. O fatorial de 0 é um produto sem fatores, e um produto sem fatores vale 1, tal como uma soma sem parcelas vale 0. E só com 0! = 1 a fórmula dos arranjos dá certo quando entram todos os elementos: ⁿA_n = n! ÷ 0! tem de dar n!, o número de permutações.

Qual é a diferença entre arranjos e combinações?

Nos arranjos a ordem conta e nas combinações não. Escolher presidente, vice-presidente e tesoureiro entre 10 pessoas dá ¹⁰A₃ = 720 maneiras. Escolher só uma comissão de 3 entre as mesmas 10 dá ¹⁰C₃ = 720 ÷ 3! = 120, porque cada grupo aparece 6 vezes nos arranjos, uma por cada ordem.

Arranjos completos e arranjos com repetição são o mesmo?

Sim. Em Portugal diz-se arranjos completos e escreve-se ⁿA′_p. No Brasil diz-se arranjos com repetição. Nos dois casos a conta é n^p: com 10 algarismos há 10⁴ = 10 000 códigos de 4 algarismos.

Até que número calcula?

O fatorial e as permutações vão até n = 1 000. O 1000! tem 2 568 algarismos e aparece completo. As permutações com repetição, os arranjos simples, os arranjos completos e as combinações vão até resultados com 3 100 algarismos, o que inclui todas as permutações com repetição e todos os arranjos simples com n até 1 000 e todas as combinações com n até 10 000. Acima disso, a calculadora diz quantos algarismos teria o resultado.

Porque é que ⁿCₚ = ⁿCₙ₋ₚ?

Porque escolher os p elementos que entram é o mesmo que escolher os n − p que ficam de fora. Cada grupo de 6 números entre 49 deixa de fora um grupo de 43, por isso ⁴⁹C₆ = ⁴⁹C₄₃ = 13 983 816. Na fórmula, trocar p por n − p só troca a ordem dos dois fatoriais de baixo.