Descontos sucessivos: como calcular o desconto total

Preço inicial100 €

Depois de −20%80 €

Depois de mais −10%72 €

Se os descontos se somassem (−30%)70 €

Calcular descontos sucessivos em 3 passos

1. Passe cada desconto a fator. O fator é a parte do preço que fica. Para 20%: 1 − 20 ÷ 100 = 0,8. Para 10%: 1 − 10 ÷ 100 = 0,9.
2. Multiplique o preço pelos fatores. 100 × 0,8 × 0,9 = 72 €. Este é o preço final.
3. Calcule o desconto total. Multiplique os fatores, 0,8 × 0,9 = 0,72, e tire o resultado a 1. Fica 0,28, ou seja, 28%.

Cada fator diz quanto do preço sobra depois de um desconto. Com 20% de desconto sobra 80% do preço, e com 10% sobra 90%. Os fatores multiplicam-se porque o segundo desconto se aplica ao que sobrou do primeiro. O método serve para dois, três ou mais descontos. As contas de um só desconto estão no guia como calcular um desconto.

Sem papel, use a calculadora de percentagens, no modo «Calcular descontos sucessivos». Escreva o preço e os dois descontos. O resultado mostra o preço final e o desconto único equivalente.

A fórmula dá o desconto total sem passar pelos euros

Para ter o desconto total sem saber o preço, escreva os descontos em decimal. 20% é 0,2 e 10% é 0,1. A fórmula é esta:

Desconto total = 1 − (1 − a) × (1 − b)

Com a = 0,2 e b = 0,1, fica 1 − 0,8 × 0,9 = 1 − 0,72 = 0,28. O desconto total é de 28%. Há um atalho que dá o mesmo e se faz bem de cabeça. Some os dois descontos e tire o produto deles a dividir por 100. Em percentagem, 20 + 10 − 20 × 10 ÷ 100 = 28.

Com três descontos, junta-se mais um fator. Três descontos de 10% dão 1 − 0,9 × 0,9 × 0,9 = 1 − 0,729 = 0,271. O desconto total é de 27,1%, e não de 30%. Quantos mais descontos houver, maior fica a distância para a soma simples.

Exemplos resolvidos com euros

Os casos seguintes são exemplos hipotéticos, com preços escolhidos para mostrar as contas.

Casaco de 150 € com −20% e depois −10%. O primeiro desconto deixa o casaco a 150 × 0,8 = 120 €. O segundo tira 10% aos 120 €, e fica 120 × 0,9 = 108 €. Poupa 150 − 108 = 42 €. Em percentagem, 42 ÷ 150 × 100 = 28%, o mesmo desconto total da resposta rápida.

Ténis de 59,90 € com −30% e mais −15% na caixa. Os fatores são 0,7 e 0,85. O fator total é 0,7 × 0,85 = 0,595. O preço final é 59,90 × 0,595, cerca de 35,64 €. O desconto total é de 1 − 0,595 = 0,405, ou seja, 40,5%. A soma simples prometia 45%.

Dois descontos de 50% num artigo de 200 €. O primeiro deixa o artigo a 100 € e o segundo a 50 €. O fator total é 0,5 × 0,5 = 0,25. Paga um quarto do preço, e o desconto total é de 75%. A soma daria 100%, um artigo de graça, o que dois descontos abaixo de 100% nunca dão.

A ordem dos descontos não muda o preço final

Aplicar primeiro 10% e depois 20% dá o mesmo preço que o contrário. No casaco de 150 €, 150 × 0,9 × 0,8 = 108 €. A multiplicação não depende da ordem dos fatores, por isso o resultado é igual. O que muda é a parte de cada desconto em euros:

• Primeiro 20%: tira 30 € e fica 120 €. Depois, 10% tira 12 €.
• Primeiro 10%: tira 15 € e fica 135 €. Depois, 20% tira 27 €.

Nos dois casos, a poupança total é de 42 €. A ordem só conta quando se junta um desconto em percentagem a um desconto fixo em euros. Imagine um artigo de 100 € com um vale de 10 € e 20% de desconto. Com o vale primeiro, paga (100 − 10) × 0,8 = 72 €. Com a percentagem primeiro, paga 100 × 0,8 − 10 = 70 €. Para quem compra, é melhor a percentagem antes do vale.

Um desconto único com a mesma soma poupa mais

Quando os dois descontos são maiores do que zero, os descontos sucessivos valem sempre menos do que a soma. A diferença é o produto dos dois descontos. Com 20% e 10%, é 20 × 10 ÷ 100 = 2. O desconto total fica 2 pontos percentuais abaixo dos 30%.

No casaco de 150 €, um desconto único de 30% dava 150 × 0,7 = 105 €. Os dois descontos sucessivos deixam o casaco a 108 €, ou seja, 3 € mais caro. Parece pouco num casaco, mas a distância cresce com o tamanho dos descontos. Com dois descontos de 50%, o desconto total de 75% fica 25 pontos abaixo da soma.

Para escolher entre promoções, compare os fatores

Passe cada promoção a um fator total e escolha o mais pequeno. O fator mais pequeno é o que deixa o preço mais baixo. Não precisa de saber o preço do artigo, porque o fator vale para qualquer preço. Imagine três promoções hipotéticas para o mesmo artigo de 80 €:

• 35% de uma vez: fator 0,65. Paga 80 × 0,65 = 52 €.
• 20% e depois mais 20%: fator 0,8 × 0,8 = 0,64. Paga 80 × 0,64 = 51,20 €.
• 25% e depois mais 10%: fator 0,75 × 0,9 = 0,675. Paga 80 × 0,675 = 54 €.

A segunda promoção ganha por pouco, com um desconto total de 36%. A terceira soma 35, tal como a primeira, mas vale só 32,5%. Compare sempre os fatores, e nunca a soma das percentagens anunciadas.

Um desconto seguido de um aumento não volta ao preço inicial

O mesmo raciocínio serve quando um preço desce e depois sobe. Um artigo de 100 € com 20% de desconto fica a 80 €. Se depois subir 20%, fica a 80 × 1,2 = 96 €. O aumento aplica-se aos 80 €, uma base mais pequena, e por isso não repõe os 20 € perdidos.

Para voltar aos 100 €, o aumento teria de ser de 20 ÷ 80 × 100 = 25%. A ordem também aqui não importa, porque 100 × 1,2 × 0,8 dá os mesmos 96 €. A descida e a subida juntas deixam o preço 4% abaixo do início. É uma variação percentual de (96 − 100) ÷ 100 × 100 = −4%.

Erros comuns

Somar os descontos

As duas percentagens parecem fáceis de somar, mas 20% e depois 10% dão 28%, e não 30%. A soma só está certa se os dois descontos se aplicarem ao preço original. Nesse caso, a loja está a dar um desconto único de 30%.

Calcular o desconto total sobre o preço do meio

No casaco, a poupança de 42 € vale 28% dos 150 € iniciais. Se a dividir pelos 120 € do meio, obtém 42 ÷ 120 × 100 = 35%, um desconto total errado. Para saber que parte um valor é de outro, divide-se pelo valor de partida. O guia da percentagem entre dois valores mostra essa conta.

Arredondar a cada passo

Com preços de etiqueta, arredondar os cêntimos a cada desconto pode mudar o último cêntimo. Imagine uns ténis de 29,49 € com −30% e depois −15%. Passo a passo, 29,49 × 0,7 = 20,643, que arredonda para 20,64 €. Depois, 20,64 × 0,85 = 17,544, ou seja, 17,54 €. Com o fator total, 29,49 × 0,595 = 17,54655, ou seja, 17,55 €. Faça a conta com o fator total e arredonde só no fim.

Perguntas frequentes

Qual é a fórmula dos descontos sucessivos?

Preço final = Preço × (1 − a) × (1 − b)

Desconto total = 1 − (1 − a) × (1 − b)

Os descontos a e b escrevem-se em decimal. Por exemplo, 20% é 0,2.

20% e depois mais 20% dão 40%?

Não. Dão 1 − 0,8 × 0,8 = 0,36, ou seja, 36%. Um artigo de 100 € fica a 64 €, e não a 60 €.

Como sei o desconto total a partir dos preços?

Subtraia o preço final ao inicial, divida pelo inicial e multiplique por 100. De 150 € para 108 €: 42 ÷ 150 × 100 = 28%. É a mesma conta de como calcular uma percentagem de um total.

Como chego ao preço original a partir do preço final?

Divida o preço final pelo fator total. Com 20% e depois 10%, o fator é 0,72. Se pagou 72 €, o preço original era 72 ÷ 0,72 = 100 €. Não divida por 0,7, porque daria cerca de 102,86 €.